domingo, 27 de noviembre de 2011

Cinemática

 

1.1.1.-    La cinemática (del griegoκινεω, kineo, movimiento) es la rama de la mecánica clásica que estudia las leyes del movimiento de los cuerpos sin tener en cuenta las causas que lo producen, limitándose esencialmente, al estudio de la trayectoria en función del tiempo.


Definición de Partícula:
Es un cuerpo uniforme, que en la realidad no existe y que corresponde a la idealización matemática de un objeto cuyas dimensiones y orientación en el espacio son despreciables para la descripción particular del movimiento.
           
                        Definición de Posición:
                        Es el punto donde se encuentra un móvil en un determinado instante de tiempo

Definición de Desplazamiento:
Es el  cambio de posición de una partícula respecto a un sistema de referencia éste no depende de la trayectoria seguida por la partícula, sino que sólo depende del punto de partida y del punto de llegada. 
              
                        Definición de Trayectoria:
                        Es la linea que resulta de unir todos los puntos por donde pasa el movil,
                        en  consecuencia puede ser rectilínea, circunferencia,elíptica,parabólica.

                        Movimiento de Traslación:
                       Un cuerpo está en traslación si  todas las partículas (puntos) que lo componen
                       describen la misma trayectoria.  La traslación puede ser rectilínea o curvilínea.
                       [Fig. 3-1].
(a) Traslación rectilínea 
(b) Traslación curvilínea
Figura 3-1
Una característica del movimiento de traslación es que cualquier recta, considerada como  perteneciente al cuerpo, permanece siempre en la misma dirección. Esto se puede apreciar en la figura 3-1 donde la recta AB es paralela a la recta A’B’.



1.1.2.-  Movimiento en una Dimension:



Son aquellos en los que el cuerpo solo se desplaza en una dirección. El desplazamiento o variación posicional coincide con la distancia o espacio recorrido siempre que no exista cambio de sentido en el transcurso del movimiento.

Dentro del Sistema de referencia se tomará el eje x cuando el movimiento sea horizontal y el eje y cuando sea vertical.

Las magnitudes cinemáticas vectoriales operan en el movimiento rectilíneo en la dirección del movimiento, por lo que se emplean signos + y -.

Un movimiento es rectilíneo cuando el móvil describe una trayectoria recta, y es uniforme cuando su velocidad es constante en el tiempo, dado que su aceleración es nula. Nos referimos a él mediante el acrónimo MRU.
El MRU (movimiento rectilíneo uniforme) se caracteriza por:
  • Movimiento que se realiza sobre una línea recta.
  • Velocidad constante; implica magnitud y dirección constantes.
  • La magnitud de la velocidad recibe el nombre de celeridad o rapidez.

Ecuaciones del movimiento

Sabemos que la velocidad V0 es constante, esto es, no existe aceleración.
V = V0
La posición x en el instante t viene dada por:
xx0 + V0t
Donde x0 es la posición inicial.

Formas de graficar el movimiento

Al graficar la velocidad en función del tiempo se obtiene una recta paralela al eje x (tiempo), ya que para cualquier valor del tiempo, la velocidad es la misma. Además, el área bajo la recta producida revela la distancia recorrida.
Al graficar la distancia recorrida en función del tiempo (manteniendo siempre la velocidad constante), se obtiene una recta que pasa por el origen y cuya pendiente es equivalente a la velocidad.
También puede graficarse la posición en función del tiempo, para conocer en qué punto se encuentra el objeto en un determinado instante.








Movimiento rectilíneo uniformemente acelerado


El Movimiento rectilíneo uniformemente acelerado (MRUA), también conocido como Movimiento rectilíneo uniformemente variado (MRUV) o Movimiento Unidimensional con Aceleración Constante, es aquél en el que un móvil se desplaza sobre una trayectoria recta estando sometido a una aceleración constante. Esto implica que para cualquier instante de tiempo, la aceleración del móvil tiene el mismo valor. Un caso de este tipo de movimiento es el de caída libre, en el cual la aceleración interviniente, y considerada constante, es la que corresponde a la de la gravedad.
También puede definirse el movimiento MRUA como el seguido por una partícula que partiendo del reposo es acelerada por una fuerza constante.
Las características principales de este movimiento son:
  1. La aceleración y la fuerza resultante sobre la partícula son constantes.
  2. La velocidad varía linealmente respecto del tiempo.
  3. La posición varía según una relación cuadrática respecto del tiempo.

ACELERACIÓN
            Cuando la velocidad de un móvil no permanece constante, sino que varia, decimos que sufre una aceleración.
            Por definición, la aceleración es la variación de la velocidad de un móvil con respecto al tiempo.
            La ecuación para calcular la aceleración cuando el móvil parte del reposo es la siguiente:

a = v/t
           
            Y cuando no parte del reposo es:

                                       a = vf – vi
                                                 t
donde:
a = aceleración de un móvil en m/s, cm/s2   
vf = velocidad final del móvil en m/s, cm/s
vi = velocidad inicial del móvil en m/s, cm/s
t= tiempo en que se produce el cambio de velocidad en seg.




ACELERACIÓN MEDIA
            Supongamos que un auto pasa por un punto A en un tiempo to ; este tendrá una velocidad vo , y al pasar por un punto B lo hará con una velocidad v en un tiempo t; el cambio de velocidad del auto será v – vo , y el tiempo transcurrido será de t – to;  por lo tanto:


                                A = v – vo
                                       t – to  

los intervalos de la velocidad y del tiempo están dados por

                              Dv = v – vo  cambio de la velocidad
                              Dt =  t – to    intervalo de tiempo

la relación será para la aceleración

                              a = Dv
                                                       Dt

se tiene entonces que
                  
                              La aceleración media de un cuerpo
                              móvil es aquella en la cual el cuer-
                              po cambia su velocidad en grandes
                              intervalos de tiempo.


ACELERACIÓN  INSTANTÁNEA


            La aceleración instantánea es aquella en la cual el cuerpo móvil cambia su velocidad en intervalos muy pequeños de tiempo. Mientras mas reducido sea el intervalo de tiempo, la aceleración instantánea será mas exacta.
            En general, se usara el termino aceleración para referirnos a la aceleración instantánea.

ECUACIONES DERIVADAS UTILIZADAS EN EL MRUV

            Como hemos observado el movimiento rectilíneo uniforme variado, la velocidad cambia constantemente de valor; por ello, si deseamos conocer el desplazamiento en cualquier tiempo, lo podemos obtener si utilizamos el concepto de velocidad media ya que hemos estudiado.
                                                                       

d= vf + vi     (t)
          2
            A partir de estas expresiones deduciremos las ecuaciones que se utilizan para calcular desplazamientos y velocidades finales cuando el movimiento tiene aceleración constante.
            Cada una de las ecuaciones se despejan con respecto a t, y se igualan. Puesto que los dos primeros miembros son iguales entre si, se obtiene:

a = vf - vi
          t
Despejando el valor de t en la ecuación de aceleración

t =vf – vi
         a
            De la ecuación de velocidad media se tiene entonces

d = vf2 –vi2
            2a
por lo tanto

vf2 = vi2 +2ad
            Otra ecuación útil se obtiene despejando vf de la ecuación de aceleración.

Vf = vi +a t
            Entonces sustituimos velocidad final en la formula anterior, por lo tanto nos queda así

D= vi t + a t2
                 2

INICIANDO EL MOVIMIENTO DESDE EL REPOSO
            Cuando el cuerpo parte del reposo y adquiere una aceleración constante, la velocidad inicial vi = 0
            A estas  ecuaciones se les llama ecuaciones especiales.
            Por la importancia de las ecuaciones deducidas es conveniente recordar las cuatro ecuaciones generales para el movimiento rectilíneo uniformemente acelerado. Las ecuaciones especiales se derivan de las ecuaciones generales, es también muy importante saber deducirlas para evitar su memorización. A continuación se puede observar las ecuaciones generales en la siguiente tabla

ECUACIONES GENERALES

vf = vi + a t
d= vf + vi   (t)
            2
 vf2 = vi2 +2ad
d = vi t + a t2
                        2

ECUACIONES ESPECIALES
VI =0
vf = a t
d = ½ vf t
vf2 = 2 a d
d = ½ a t







Ejercicios de movimiento uniformemente acelerado.

1.- Un motociclista que parte del reposo y 5 segundos más tarde alcanza una velocidad de 25 m / s ¿qué aceleración obtuvo?

DATOS       FORMULA

a =?              a=v    a= 25 m/s=   5 m/seg2.
V = 25m/s          t            5 s             
         CUANDO EL MOVIL  PARTE DEL
t =5 s     REPOSO.

2.- ¿Un coche de carreras cambia su velocidad de 30 Km. / h a 200 Km/h. en 5 seg, cual es su aceleración?

DATOS       FORMULA

Vo = 30km/h    a= vf-vo
Vf =200km              t           200km/h-30km/h=170 km/h
t = 5 s                                     Conversión de unidades.
a = ?                        170 km/h x 1000 m/1 km x 1 h/3600 seg= 47.22 m/seg.          

                                   la velocidad en m/seg es de 47.22 m/seg.

                                                                       a=47.22 m/seg  = 9.44 m/seg2
                                                                                  5 seg
 3.- Un automóvil se desplaza inicialmente a 50 km/h y acelera a razón de 4 m/seg2 durante 3 segundos ¿Cuál es su velocidad final?

Datos                               Fórmula                    Sustitución
vo = 50 km/h                  Vf = Vo + at      Vf = 13.88 m/seg + 4m/segx 3 seg
a = 4m/seg2                                                             Vf = 25.88 m/seg.
t = 3 seg              Conversión a de km/h a m/seg.
vf =                       50 km/h x 1000 m/1 km x 1h/ 3600 seg= 13.88 m/seg           


4.- Un tren que viaja inicialmente a 16 m/seg se acelera constantemente a razón de 2 m/seg2. ¿Qué tan lejos viajará en 20 segundos?. ¿Cuál será su velocidad final?

Datos                             Fórmulas                                Sustitución

Vo = 16 m/seg              Vf = Vo + at     Vf = 16 m/seg + 2 m/seg2 x 20seg
                                                                 V f = 56 m/seg.
a = 2 m/seg2
            d=                               d= vf + vi   (t)   d= 56 m/seg + 16 m/seg  x 20 seg
                                                           2                                 2
                                                                 d= 720 metros.
t = 20 seg
vf =





Caída Libre

Se conoce como caída libre cuando desde cierta altura un cuerpo se deja caer para permitir que la fuerza de gravedad actué sobre el, siendo su velocidad inicial cero.
En este movimientos el desplazamiento es en una sola dirección que corresponde al eje vertical (eje "Y").
Es un movimiento uniformemente acelerado y la aceleración que actúa sobre los cuerpos es la de gravedad representada por la letra g, como la aceleración de la gravedad aumenta la velocidad del cuerpo, la aceleración se toma positiva.
En el vacío, todos los cuerpos tienden a caer con igual velocidad.
Un objeto al caer libremente está bajo la influencia única de la gravedad. Se conoce como aceleración de la gravedad. Y se define como la variación de velocidad que experimentan los cuerpos en su caída libre. El valor de la aceleración que experimenta cualquier masa sometida a una fuerza constante depende de la intensidad de esa fuerza y ésta, en el caso de la caída de los cuerpos, no es más que la atracción de la Tierra.
Todos los cuerpos con este tipo de movimiento tienen una aceleración dirigida hacia abajo cuyo valor depende del lugar en el que se encuentren. los cuerpos dejados en caída libre aumentan su velocidad (hacia abajo) en 9,8 m/s cada segundo .
La aceleración de gravedad es la misma para todos los objetos y es independiente de las masas de éstos.
En la caída libre no se tiene en cuenta la resistencia del aire. Si se desprecia la resistencia del aire y se supone que aceleración en caída libre no varía con la altitud, entonces el movimiento vertical de un objeto que cae libremente es equivalente al movimiento con aceleración constante.

Leyes fundamentales de la Caída Libre

a) Todo cuerpo que cae libremente tiene una trayectoria vertical
b) La caída de los cuerpos es un movimiento uniformemente acelerado
c) Todos los cuerpos caen con la misma aceleración.
 Los valores de la gravedad son:
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Fórmulas
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Velocidad inicial: normalmente es la velocidad que se le imprime inicialmente a un objeto para ponerlo en movimiento. En este caso como no se le da una fuerza sino solo se deja caer la Vo es igual a cero.
Velocidad final: es la velocidad que alcanzara el objeto cuando llega al punto final de la caída.
Tiempo: Es lo que se demora el cuerpo en caer.
Altura: la altura es la medida de longitud de una trayectoria o desplazamiento, siempre y cuando la medida se tomada como punto de refencia la vertical.
Gravedad: Gravedad es una fuerza que trata de jalar los objetos hacia abajo.Cualquier cosa que tenga masa también tiene un tirón gravitacional. Entre más masa un objeto tenga, más fuerte es su tirón o jale de atracción gravitacional.
Ejemplo 1
Se deja caer una pelota desde la parte alta de un edificio, si tarda 3s en llegar al piso ¿Cuál es la altura del edificio? ¿Con qué velocidad se impacta contra el piso?

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Ejemplo 2
Se deja caer una pelota desde una altura de 20 m. ¿Cuánto tardará en llegar al suelo? ¿Con qué velocidad llega?
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MOVIMIENTO DE PROYECTILES


Una bala disparada por un cañón, una piedra que se lanza al aire, una pelota que cae rodando del borde de una mesa, un vehículo espacial que gira alrededor de la Tierra, son todos ellos ejemplos de proyectiles.

Los proyectiles que están cerca de la Tierra siguen una trayectoria curva que a primera vista parece muy complicada. No obstante, estas trayectorias son sorprendentemente simples, se descomponemos el movimiento en dos, uno horizontal y otro vertical.

En primer lugar, si no tenemos en cuenta el efecto del aire, el proyectil únicamente estará sujeto a la gravedad.


Las ecuaciones que permiten obtener las coordenadas instantáneas del vector posición de un proyectil.

x = xo + vox t                                                 e-1

y = yo+ voy t - ½ g t2                                    e-2


  


 Eliminado el tiempo en las ecuaciones que nos dan las posiciones x e y, obtenemos la ecuación de la trayectoria, que tiene la forma y.=.ax2 + bx + c, lo que representa una parábola.
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Consulta en un libro como se calcula el alcance máximo y comprueba que la expresión del alcance horizontal en función de la velocidad inicial y del ángulo es:

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Obtenemos la altura máxima cuando la componente vertical de la velocidad vy es cero, el alcance horizontal x cuando el cuerpo retorna al suelo y=0. Comprueba que se obtiene la expresión :

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